六邊形
在幾何學中，六邊形是指由六條邊和六個頂點構成的多邊形，其內角和為 720 度。六邊形種類繁多，其中最具對稱性的便是正六邊形。正六邊形可用尺規作圖，並能密鋪平面，故自然界中不乏正六邊形的結構，諸如蜂巢、玄武岩和苯分子的結構。正六邊形還可構成高對稱性的多面體，如截角二十面體；巴克明斯特富勒烯分子的結構便是此類形狀的典範。
依照邊角性質，六邊形可分為凸六邊形和非凸六邊形，凸六邊形的內角均小於 180 度，而非凸六邊形則可進一步劃分為凹六邊形和星形六邊形，後者為邊緣自相交的六邊形。
正六邊形是邊長相等、內角相等的多邊形，施萊夫利符號中表述為 {6}，亦可視為截角正三角形，符號為 t{3}。然而，截角深度過深或過淺，將導出具有不同邊長的六邊形。
正六邊形的邊心距等於其內切圓半徑，邊長則等於其外接圓半徑的三分之二。它擁有 120 度的內角，呈現六重旋轉對稱性（階數為 6）和六軸對稱性（6 個對稱軸），組成了 D6 二面體羣的對稱性。正六邊形的對角線最長者為連接對側頂點者，長度恰為邊長的兩倍；因此，若有一三角形之頂點位於六邊形幾何中心處，且有一邊與六邊形共用，此三角形即為正三角形，且正六邊形可分割為六個這樣的三角形。
正六邊形是能密鋪平面的正多邊形之一，其餘兩種為正三角形和正方形。如同正方形和正三角形，正六邊形可以緊密排列，形成不留空隙或重疊的圖形，其每個頂點都是三個六邊形的共有頂點，構成了密緻的二維空間填充。這也解釋了為何大多數蜂巢的蜂房皆為六角形，有效利用了空間和材料。另餘談，正三角形鑲嵌的沃羅諾伊圖為正六邊形鑲嵌。
儘管擁有等邊特性，正六邊形並不常被歸類為等邊多邊形。正六邊形最大的直徑是其外接圓半徑的兩倍，而外接圓半徑等於邊長。正六邊形可以用圓規和直尺作圖，因為當正六邊形內接於圓時，圓的半徑即等於正六邊形邊長，而正六邊形最長的對角線等於圓的直徑。中國古代關於圓周與直徑關係的「週三徑一」之説，可視為將正六邊形近似為圓所得的結果。
以下是正六邊形的尺規作圖步驟，共分三步。由於正六邊形由六個等邊三角形組成，故其內切圓半徑（即等邊三角形的高）為邊長的根號三與二的比值。
| 步驟 | 説明 |
|---|---|
| 步驟 1 | 以任意半徑畫一個圓。 |
| 步驟 2 | 在圓上取一點 A。 |
| 步驟 3 | 以 A 為中心，半徑為圓半徑的三分之二作弧線，與圓相交於點 B 和 C。 |
| 步驟 4 | 以 A 為中心，半徑為 AB 作弧線，與圓相交於點 D。 |
| 步驟 5 | 以 A 為中心，半徑為 AD 作弧線，與圓相交於點 E。 |
| 步驟 6 | 以 A 為中心，半徑為 AE 作弧線，與圓相交於點 F。 |
| 步驟 7 | 連接 ABCDEF 即得正六邊形。 |
六角形：數學與自然界中的奇妙幾何
六角形，由六條等長的線段組成的平面圖形，在數學和自然界中無處不在，展現出獨特的和諧與美感。
六角形的數學性質
| 性質 | 公式 |
|---|---|
| 面積 | $A = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ |
| 周長 | $P = 6a$ |
| 內角和 | $360^\circ$ |
| 對角線數量 | 6 |
| 對角線長 | $a\sqrt{3}$ |
六角形在自然界中的應用
六角形在自然界中廣泛存在，從動物的殼到植物的結構：
- 蜜蜂的蜂巢：蜜蜂採用六角形蜂巢結構，最大限度地利用空間並節省建築材料。
- 海龜的甲殼：海龜的甲殼由六邊形板塊組成，提供堅固的保護。
- 雪花：許多雪花的形狀為六角形，反映了水分子通過六角形結構凝結的模式。
- 石墨烯：石墨烯是一種碳納米材料，其結構由以六角形排列的碳原子組成。
六角形的文化意義
除了其數學和自然屬性，六角形在文化中也具有重要意義：
- 猶太教：大衞之星由兩個相交的等邊三角形組成，形成一個六角形，象徵著上帝和以色列人民之間的契約。
- 中國：六角形在中國傳統文化中象徵著和諧與平衡，例如在八卦圖中。
- 回教：六角形是伊斯蘭教中常見的幾何圖案，出現在清真寺的建築和裝飾中。
六角形的應用
除了自然界和文化意義，六角形在現代科技中也有廣泛的應用：
- 建築：六角形結構用於打造輕型、堅固的建築物，例如巴克敏斯特·富勒的球形巨蛋。
- 機械：六角螺母和螺栓廣泛用於機械裝配，因為它們可以防止滑動並提供均勻的受力。
- 材料科學：六角形結構用於製造輕質、抗震的複合材料，例如蜂窩板。
結論
六角形是一個 faszinierende 幾何圖形，在數學、自然界和文化中都扮演著重要的角色。其對稱性和和諧賦予它獨特的特性，使其成為建築、機械和材料科學等領域有用的設計元素。從蜜蜂的蜂巢到石墨烯的結構，六角形繼續激發著我們的想像力和創新能力。
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