【斜對角計算】矩形斜對角長度輕鬆算！一招掌握對角線長度計算

計算矩形對角線長度：畢氏定理

計算矩形對角線長度時，可運用畢氏定理。該定理表明，直角三角形中斜邊（即對角線）的平方等於其他兩邊（即矩形的長和寬）的平方和。因此，透過畢氏定理，我們可以導出矩形對角線長度的公式：

公式	説明
c² = a² + b²	c 為對角線長度，a 為矩形長度，b 為矩形寬度

接著，我們可取上述等式的平方根得到對角線的實際長度：

公式	説明
c = √(a² + b²)	c 為對角線長度，a 為矩形長度，b 為矩形寬度

在進行計算時，建議使用單位換算器或線上矩形對角線計算器，以便簡化運算。

斜對角計算：矩陣運算中的一種特殊方法

斜對角計算是一種矩陣運算方法，用於計算矩陣的行列式、特徵值或特徵向量等。其特點是將矩陣的非主對角線元素全部置為零。

以下介紹斜對角計算的具體步驟和應用：

具體步驟

1. 將矩陣的主對角線上的元素移項到等號的另一側。

2. 利用初等矩陣運算將非主對角線上的元素消去。 具體方法如下：

3. 選擇一個非零元素作為「主元」。
4. 對應該主元所在的行或列進行初等行（列）運算，使得其他行（列）中與主元同列（同行的）元素都變為零。

5. 將這些初等行（列）運算應用到原矩陣上，消去非主對角線上的元素。

6. 重複第 2 步，直到所有非主對角線上的元素都為零。

7. 所得矩陣即為斜對角矩陣。

應用

斜對角計算在以下計算中發揮重要作用：

應用	斜對角矩陣的用途
行列式計算	斜對角矩陣的行列式等於主對角線元素的乘積。
特徵值和特徵向量計算	斜對角矩陣的特徵值就是主對角線上的元素，特徵向量為單位向量的積。
求解線性方程組	利用斜對角矩陣進行消元化運算，可以高效求解線性方程組。

數值範例

考慮以下矩陣 A：

A = | 6 2 -1 |
| 3 -1 4 |
| 1 2 5 |

進行斜對角計算如下：

1. 將主對角線上的元素移項：
| 6 2 -1 | = | 0 2 -1 |
| 3 -1 4 | | 3 0 4 |
| 1 2 5 | | 1 2 5 |

1. 消去第一行非主對角線上的元素：

   • 選擇第一行的 6 為主元。
   • 對第一行進行以下運算：
     • 第一行的每一元素分別乘以 -1。
     • 第一行的每一元素分別加上第二行的每一元素。
     • 第一行的每一元素分別減去第三行的每一元素。
   • 結果為：
     | 6 2 -1 | = | 0 2 -1 |
     | -3 1 3 | | 0 -1 7 |
     | -5 0 6 | | 0 2 6 |

2. 消去第二行非主對角線上的元素：

   • 選擇第二行的 -1 為主元。
   • 對第二行進行以下運算：
     • 第二行的每一元素分別乘以 -1。
     • 第二行的每一元素分別加上第一行的每一元素。
     • 第二行的每一元素分別減去第三行的每一元素。
   • 結果為：
     | 6 2 -1 | = | 0 2 -1 |
     | 0 -1 7 | | 0 0 16 |
     | -5 0 6 | | 0 2 6 |

3. 消去第三行非主對角線上的元素：

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   【例題】求長方形的對角線長

   對角線的計算

   • 選擇第三行的 2 為主元。
   • 對第三行進行以下運算：
     • 第三行的每一元素分別乘以 -1。
     • 第三行的每一元素分別加上第二行的每一元素。
   • 結果為：
     | 6 2 -1 | = | 0 2 -1 |
     | 0 -1 7 | | 0 0 16 |
     | 0 2 4 | | 0 0 22 |

最終所得矩陣為斜對角矩陣，主對角線上的元素為 6、0、22，行列式為 6 * 0 * 22 = 0。