序言
定義：度量空間是指一個具有距離概念的集合，其中距離表示為一個度量函數，它表示集合中任何兩個成員之間的距離。
歷史：度量空間的概念最早是由法國數學家弗雷歇在 1906 年引入的。
性質：度量空間中最符合人們對現實直覺理解的是三維歐幾里得空間。事實上，歐幾里得距離概念是對歐幾里得距離四個公理的推廣。歐幾里得度量將兩個點之間的距離定義為連接這兩個點的直線段的長度。
拓撲性質：度量空間還可以導出開集和閉集等拓撲性質，這導致對更抽象的拓撲空間的研究。
度量：對於一個度量空間 (M)，其上定義的函數 (d:M\times M\rightarrow \mathbb{R}) 被稱為度量或距離函數，它滿足以下性質：
- （非負性）對於所有 (x,y\in M)，(d(x,y)\geq 0)。
- （同一性）對於任意 (x\in M)，(d(x,x)=0)。
- （對稱性）對於所有 (x,y\in M)，(d(x,y)=d(y,x))。
- （三角不等式）對於所有 (x,y,z\in M)，(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z))。
開球：對於度量空間 ((M,d)) 中的任何點 (x) 和半徑 (r>0)，開球 (B(x,r)) 定義為以 (x) 為中心、半徑為 (r) 的集合：
$$B(x,r)={y\in M:|x-y|<r}$$
拓撲基：度量空間 ((M,d)) 的拓撲基由所有開球形成。因此，一個度量空間自然地是一個拓撲空間，通常表示為 ((M,\tau_d))，其中 (\tau_d) 是由開球生成的拓撲。
反之：如果可以從某個拓撲空間構造一個滿足上述性質的度量，則該拓撲空間稱為可度量化的。這方面更詳細的信息可以參閲烏雷松的可度量化定理。
定理：度量空間 ((M,d)) 中的子集 (X) 是閉的，當且僅當 (X) 中的每個極限點都屬於 (X) 時。
柯西序列：對於度量空間 ((M,d))，點序列 ({x_i}_{i\in\mathbb{N}}) 是一個柯西序列，如果對於任何正實數 (\epsilon>0)，都存在正整數 (N)，使得對於所有 (i,j>N)，都有 (d(x_i,x_j)<\epsilon)。
完備空間：度量空間 ((M,d)) 是完備的，如果任何柯西序列在 (M) 內收斂到一個點。
映射的連續性：映射 (f:M_1\rightarrow M_2) 在點 (x_0\in M_1) 處連續，當且僅當對於任意 (\epsilon>0)，存在 (\delta>0)，使得對於所有 (x\in M_1)，若 (d(x_0,x)<\delta)，則 (d(f(x_0),f(x))<\epsilon)。
勒貝格數：對於緊緻度量空間 ((M,d))，每個開覆蓋都存在一個勒貝格數 (\delta)，使得 (M) 中所有直徑小於 (\delta) 的子集都包含在某個覆蓋中。
其他性質：
- 有限區域集合被稱為有界的。
- 一個空間如果所有閉球都是緊緻的，則稱其為正規空間。
- 一個空間被稱為連通，如果其既開又閉的子集只有空集和空間本身。
- 一個空間稱為路徑連通，如果任何兩個點之間都存在一個連續映射，將第一個點映射到第二個點。
- 一個空間稱為可分的，如果其存在一個可數稠密子集。
距離空間：度量距離的抽象概念
在數學和電腦科學中，距離空間是一個抽象概念，它將一羣物件組織成一個數學空間，其中物件之間的距離可以被明確地定義和測量。
定義與性質:
距離空間是一個三元組 $(X, d, R)$, 其中：
- $X$：是一組物件（點）的集合。
- $d$：是物件之間距離的函數，滿足以下性質：
- 非負性：對於所有 $x, y \in X$，$d(x, y) \ge 0$。
- 同一性：對於所有 $x \in X$，$d(x, x) = 0$。
- 對稱性：對於所有 $x, y \in X$，$d(x, y) = d(y, x)$。
- 三角不等式：對於所有 $x, y, z \in X$，$d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$。
- $R$：是定義距離函數 $d$ 所使用的範圍，例如實數集。
類型:
距離空間可以根據距離函數的類型進行分類，常見的類型包括：
| 類型 | 距離函數 |
|---|---|
| 梅特里克空間 | 滿足所有三角不等式性質的距離函數 |
| 擬梅特里克空間 | 僅滿足前三種三角不等式性質的距離函數 |
| 超度量空間 | 僅滿足非負性和同一性性質的距離函數 |
應用:
距離空間在許多領域都有廣泛的應用，例如：
- 資料探勘：使用距離度量來找出資料中的模式和相似性。
- 機器學習：度量資料點之間的距離，以建立分類和迴歸模型。
- 訊息傳遞：在通訊系統中，用於計算傳輸節點之間的距離。
- 計算幾何：描述和分析幾何形狀的距離性質。
範例:
一個常見的距離空間範例是歐幾裏得空間。歐幾裏得距離函數 $d$ 定義為：
d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2}
延伸閲讀…
度量空間_百度百科
數學示例：距離空間
其中 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 和 $y = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$ 是 $n$ 維歐幾裏得空間中的兩點。