在數學領域，除法時若分子無法被除數整除，所得之差值即稱為「餘數」。當餘數為零時，稱作整除。
設自然數 ( a ) 和 ( d )（其中 (d) 不為零），存在唯一兩整數 (q) 與 (r) 滿足 ( a = q \times d + r)，且 ( 0 \leq r < d )。此處，(q) 即為商數，(r) 即為餘數。帶餘除法乃計算餘數之演算法，並提供了此結果之證明。
若整數 (a) 與 (d)（其中 (d) 不為零）進行除法，餘數 (r) 將符合以下條件：
| 條件 | 解釋 |
|---|---|
| 正除法 | 當 ( a \ge 0 ) 和 ( d \gt 0 )，則 ( 0 \leq r < d ) |
| 負除法 (1) | 當 ( a \lt 0 ) 和 ( d \gt 0 )，則 ( -d < r < 0 ) |
| 負除法 (2) | 當 ( a \gt 0 ) 和 ( d \lt 0 )，則 ( 0 < r < -d ) |
上列定義可能導致兩種可能的餘數。例如，分式 (\frac{-42}{-5}) 可表示為:
8 + \frac{-2}{-5}
此處，負餘數可由正餘數減去除數 (d)（在本例中為 5）而得到。通常，在與 ( d ) 除法時，若正餘數為 ( r_1 )，負餘數則為 ( -d + r_1 )。
餘數 英文：深入瞭解 Modulus 和 Remainder
引言
在數學中，”餘數”是一個重要的概念，它表示在除法運算中被除數無法整除除數的部分。英文中，餘數有兩個不同的詞彙：modulus 和 remainder，它們經常混淆使用，但實際上它們之間存在著微妙的區別。
Modulus
模數（modulus）表示在除法運算中，被除數被除數除後的餘數。它通常用符號 % 表示。例如，在除法運算 7 ÷ 3 中，餘數為 1，可用如下公式表示：
7 % 3 = 1
模數在數學和計算機科學中廣泛應用，例如：
- 時鐘算術：模 12 計算時間，表示一天包含 12 小時。
- 哈希函數：模一個大質數，用於將數據映射到一個較小的空間。
- 密碼學：模一個大質數，用於生成密鑰和加密數據。
Remainder
餘數（remainder）表示在除法運算中，被除數被除數除後的餘數。與模數不同，餘數通常用符號 r 表示。例如，在除法運算 7 ÷ 3 中，餘數也為 1，可用如下公式表示：
7 ÷ 3 = 2 r 1
餘數在數學中廣泛應用，例如：
- 歐幾裏得演算法：用於求最大公約數。
- 質數測試：用於確定一個數字是否是質數。
- 幾何：用於計算線段或角度的餘弦。
Modulus 和 Remainder 的區別
雖然模數和餘數在數學中都表示餘數，但它們之間存在關鍵區別：
| 特徵 | Modulus | Remainder |
|---|---|---|
| 表示 | 被除數除以除數後的餘數 | 被除數除以除數後的餘數 |
| 符號 | % |
r |
| 除法運算 | % 運算符 |
/ 運算符 |
| 涉及除法 | 不涉及 | 涉及 |
| 範圍 | 正整數 | 任何整數 |
總結
模數（modulus）和餘數（remainder）在數學和計算機科學中都是重要的概念。模數表示除法運算中被除數無法整除除數的部分，餘數則表示除法運算中被除數被除數除後的餘數。雖然這兩個術語經常互換使用，但它們之間存在著微妙的區別。清晰理解這些區別對於準確使用這些概念至關重要。
延伸閲讀…
餘數的英文怎麼説
餘數的英文翻譯