五邊形：幾何中的多面奇觀
簡介
五邊形，在幾何學中被定義為由五條邊和五個角構成的多邊形，展現出多樣而迷人的特質。它同時包含了凸五邊形和非凸五邊形，後者包含了凹五邊形和邊自我相交的五角星等類型。最簡單的五角星是一種正多邊形，可以通過將正五邊形的對角線連接而成。
正五邊形：對稱與精確
正五邊形是一種五個邊等長且五個角相等的五邊形，形成一個閉合且具有高度對稱性的多邊形。它的內角為 108 度，是正多邊形的一種，可以用施萊夫利符號 {5} 來表示。正五邊形的中心角為 72 度，具有五個對稱軸，其旋轉對稱性有 5 個階（72°、144°、216° 和 288°）。
五邊形鑲嵌
正五邊形是一種不能鑲嵌平面的多邊形，因為它的內角是 108 度，不能整除 360 度。截至 2017 年，里昂高等師範學校的米歇爾·勞宣稱已證明只存在 15 種凸五邊形鑲嵌平面情況。
幾何公式
正五邊形的周長 (P) 和邊心距 (r) 可通過三角函數計算：
P = 5 * t * cot(18°)
r = (t * sqrt(5 + sqrt(5)) / 2)
其中，t 是正五邊形的邊長。
正五邊形也是一個圓外切多邊形，因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同，並且可以用邊長來決定：
r = (t * sqrt(5 - sqrt(5)) / 4)
構造正五邊形
歷史上，人們提出了各種構造正五邊形的方法。一種常見的方法是基於一個單位圓：
- 確定圓心（C）和半徑（M）。
- 在半徑中點（D）建立一條與 MC 垂直的線。
- 確定線段 CMD 的角平分線並標記與 CD 的交點（Q）。
- 過 Q 作與 MC 平行的線，與單位圓相交於 P。
- DP 是正五邊形的邊長。
歷史與文化
正五邊形在歷史上備受重視，約於公元前 300 年，歐幾裏得在《幾何原本》中描述了構造正五邊形的過程。它也被用於摺紙中，例如在摺紙星星的製作過程中。
分類
凸五邊形：具有凸出的角，所有內角都小於 180 度。
非凸五邊形：至少有一個凹陷的角，內角中有至少一個大於 180 度。
凹五邊形：具有至少一個凹陷的角，內角中有至少一個大於 180 度。
五角星：邊自我相交的五邊形，具有尖鋭的角。
表格：五邊形分類
| 類型 | 描述 |
|---|---|
| 凸五邊形 | 所有內角小於 180 度 |
| 非凸五邊形 | 至少有一個內角大於 180 度 |
| 凹五邊形 | 至少有一個內角大於 180 度，且邊自我相交 |
| 五角星 | 至少有一個內角大於 180 度，且邊自我相交 |
五角形角度：理解五角形的內角和外角
前言
五角形是一種擁有五條邊和五個頂點的多邊形。理解五角形的角度對於幾何學計算和測量至關重要。本文將探討五角形的內角和外角，並提供一個表格來説明它們之間的關係。
內角
- 五角形的內角是指由兩條相鄰的邊形成的角。
- 五角形的內角和為：(5-2) * 180° = 540°
外角
- 五角形的外角是指由兩條相鄰的邊的延伸線形成的角。
- 五角形的外角和為：360°
內角和外角的關係
下表顯示了五角形內角和外角之間的關係：
| 內角 | 外角 |
|---|---|
| 108° | 72° |
| 144° | 36° |
| 180° | 0° |
| 216° | -36° |
| 252° | -72° |
計算內角
要計算五角形的內角，可以使用以下公式：
內角 = 180° - (360° / n)
其中 n 是五角形的邊數（本例為 5）。
計算外角
要計算五角形的外角，可以使用以下公式：
外角 = 360° / n
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五邊形
五邊形內角和是多少度
結論
理解五角形的角度對於幾何學計算和測量至關重要。本文探討了五角形的內角和外角，並提供了它們之間關係的表格。通過應用公式，可以計算五角形的內角和外角，以解決各種幾何學問題。