| 所謂 「蒙提霍爾問題」，又稱 「蒙特霍問題」、「山羊問題」或 「三門問題」， 源於博弈論中的數學遊戲問題。遊戲規則如下：有三扇門，一扇門後藏著一輛汽車（獎品），而其餘兩扇門則藏著一隻山羊 （非獎品）。參賽者 首先選擇一扇門，然後主持人打開一扇並非獎品的那扇門，接著詢問參賽者是否要更換選擇。按照瑪麗蓮·沃斯·莎凡特的理論，參賽者更換選擇，贏得汽車的機率為 2/3。因此**，本問題也被稱為 「蒙提霍爾悖論」，其答案雖然在邏輯上不矛盾，但與直覺大相逕庭。
這個問題得名於主持人蒙提·霍爾。他在主持美國遊戲節目《一起做個買賣》時，會進行類似的遊戲環節，並確實會開啟一扇並非獎品的那扇門，藉此吸引觀眾目光。然而，他並未允許參賽者更改選擇。蒙提霍爾問題可能 最早出現在約瑟夫·貝特朗於 1889 年著作的《概率計算》一書中，其中被稱為 「貝特朗箱子悖論」。而另一個形式為 「三囚問題」，其原理相同，並於 1959 年出現在馬丁·加德納的《數學遊戲》專欄中，隨後被翻譯成多種語言版本。
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特於 1980 年代中期以《吉尼斯世界紀錄》中智商最高的記錄（185）而聞名。當時，她的回答在《大觀雜誌》中刊出後，立即引發全球關注。她的解法與直覺大相徑庭，進而引發眾多數學家的質疑。但後續的闡釋證明質疑者觀點錯誤。顯然，莎凡特的答案是正確的：當參賽者更換門時，其贏得汽車的機率 將加倍。
有三種 可能性，皆有相同的機率（1/3）：
1. 參賽者最初選擇的是汽車。
2. 參賽者最初選擇的是一隻山羊，而主持人打開另一隻山羊的門。
3. 參賽者最初選擇的是一隻山羊，而主持人打開汽車的門。
在後兩種情況中，參賽者 可以通過更換選擇，贏得汽車。第一種情況是參賽者 唯一可能通過維持原有選擇贏得汽車的情況。由於三種情況中有兩種是透過更換選擇而獲勝的，因此通過更換選擇獲勝的機率為 2/3。
如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨機打開一扇門（可能直接打開汽車的門，導致遊戲結束），又或者如果主持人僅在參賽者特定選擇某一扇門時才會詢問是否更換選擇，問題都將發生 變化。例如，如果主持人先從兩隻山羊中剔除一隻，然後 再叫參賽者進行選擇，則中獎機率將為 1/2。
還可以用逆向思維的方式理解這個選擇：假設你是主持人，無論參賽者最初選擇的是什麼，在被問到是否更換門時，都選擇更換。如果參賽者最初選擇了一隻山羊，更換後一定獲勝；如果參賽者最初選擇了汽車，更換後一定 失敗。而選擇山羊的機率為 2/3，而選擇汽車的機率為 1/3。因此，無論如何 變換選擇，相比於最初僅有 1/3 的獲勝機率，更換選擇可以增加獲勝 可能。
一些更簡潔的解法：
1. 你最初選擇山羊的機率是 2/3，而主持人選擇山羊後，你更換後選擇山羊的機率就是你最初選擇汽車的機率，1/3。
2. 你最初選擇汽車的機率是 1/3，而主持人選擇山羊後，你更換後選擇汽車的機率就是你最初選擇山羊的機率，2/3。
3. 你最初選擇汽車的機率為 1/3，汽車在另外兩個門後的機率為 2/3，主持人選擇山羊後，汽車在最後那扇門後的機率依然是原來兩扇門後有車的機率，2/3。
三個門機率：一場博弈論的經典案例
在機率理論和博弈論中，「三個門機率」是一個著名的案例，探討了在不完全訊息條件下做出決定的難題。
案例背景
在一個遊戲節目中，主持人展示三扇門，其中一扇後面藏有一輛汽車，另外兩扇後面則是山羊。參與者可以選擇開啟其中一扇門，如果開啟的門後面是汽車，則參與者獲勝；如果開啟的門後面是山羊，主持人會開啟另一扇山羊門，並讓參與者選擇是否換到未開啟的那扇門。
蒙提霍爾問題
在遊戲開始時，參與者在選擇任何一扇門時獲勝的機率都是 1/3。然而，在主持人打開一扇山羊門後，參與者的機率會發生變化。
不換門策略：
- 不換門時，如果參與者一開始選擇了汽車門，則他們會獲勝。機率為 1/3。
- 不換門時，如果參與者一開始選擇了山羊門，則他們會輸。機率為 2/3。
換門策略：
- 換門時，如果參與者一開始選擇了汽車門，則他們會輸。機率為 1/3。
- 換門時，如果參與者一開始選擇了山羊門，則他們會獲勝。機率為 2/3。
機率計算
下表總結了「三個門機率」案例中不同策略下的獲勝機率：
| 策略 | 汽車在最初選擇的門後面 | 汽車不在最初選擇的門後面 |
|---|---|---|
| 不換門 | 1/3 | 0 |
| 換門 | 0 | 2/3 |
結論：
從機率的觀點來看，換門策略優於不換門策略，因為它提供了 2/3 的獲勝機率，而後者僅有 1/3 的機率。儘管直覺上可能認為門的選擇沒有影響，但主持人打開資訊山羊門會改變遊戲機率，並對參與者的決策產生重大影響。
延伸閲讀…
換？還是不換？
三門問題_百度百科