蒙提霍爾問題
蒙提霍爾問題，亦稱為蒙特霍問題、山羊問題或三門問題，是一個源自博弈論的數學遊戲問題。參賽者會看見三扇門，其中一扇門的裏面有一輛汽車，選中емость則當選到那扇門時可以贏得該輛汽車。
該問題的答案雖在邏輯上並無矛盾，但十分違反直覺。根據瑪麗蓮·沃斯·莎凡特的見解，參賽者應該換，換門的話，贏得汽車的機率是2/3。
該問題首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的Calcul des probabilités一書中。還有另一種形式是三囚問題，原理是一模一樣的，1959年出現在馬丁·加德納的《數學遊戲》專欄中。
- 解法一：你最初選羊的機率是2/3，而主持人選羊以後，你轉換後選羊的機率就變成你最初選車的機率，1/3。
- 解法二：你最初選車的機率是1/3，而主持人選羊以後，你轉換後選車的機率就變成你最初選羊的機率，2/3。
- 解法三：你最初選車的機率為1/3，車在另外兩個門後的機率為2/3，主持人選羊以後，車在最後那張門後的機率還是原來兩張門後有車的機率，2/3。
如果主持人事先知道汽車在哪一個門後，則此時維持不換門可以得到汽車的機率為1/3，而換門可以得到汽車的機率為2/3。換句話説，只要一開始選到沒獎品的門，換門就一定會中獎；相反地，一開始就選到有獎品的門，那麼換門就銘謝惠顧了。因此，換門才是較好的抉擇。
3門問題：機率、邏輯與策略
3門問題是一個經典的機率與決策問題，它在機率論、決策論、博弈論等領域都佔有一席之地。本文將帶你深入瞭解3門問題，探討其背後的機率與邏輯，並分享一些解題策略。
3門問題的設定
3門問題的設定如下：
- 假設有3扇門，其中1扇門後藏著一輛汽車，另外2扇門後則是山羊。
- 參與者先選擇其中一扇門，主持人會打開其餘2扇門中的一扇，並露出其中一隻山羊。
- 參與者此時可以選擇：
- 堅持自己最初的選擇，最終獲得所選門後面的獎品；
- 更換另一扇門，獲得另一扇門後面的獎品。
問題是：堅持原先選擇的門，還是更換另一扇門，哪種選擇會獲得汽車的機率更大？
3門問題的機率分析
直觀地想，堅持原先選擇的門和更換另一扇門，獲得汽車的機率應該是相同的，各為50%。但實際上，更換另一扇門獲得汽車的機率更高，為66.67%。
以下是詳細的機率分析：
- 參與者最初選擇一扇門，這扇門後藏有汽車的機率為1/3。
- 主持人打開其餘2扇門中的一扇，露出其中一隻山羊，這表示另外2扇門中至少有一扇門後藏著山羊。
- 剩下的2扇門中，只有一扇門後藏著汽車，而另一扇門後則藏著山羊。
- 參與者此時若選擇更換另一扇門，則獲得汽車的機率為2/3。
因此，更換另一扇門獲得汽車的機率為66.67%，而堅持原先選擇的門獲得汽車的機率只有33.33%。
3門問題的邏輯分析
3門問題的關鍵在於，主持人打開一扇門後，揭示了額外的資訊，改變了參與者獲得汽車的機率。
當主持人打開一扇門，露出其中一隻山羊時，實際上已經排除了所有其他可能藏有汽車的門，除了參與者最初選擇的門和剩餘的那扇門。換句話説，剩餘的那扇門包含了所有獲取汽車的可能性，而參與者最初選擇的門只包含了1/3的可能性。因此，更換另一扇門的策略更為有利。
3門問題的策略
3門問題的最佳策略是：更換另一扇門。
在所有情況下，更換另一扇門獲得汽車的機率都比堅持原先的選擇更高。即使汽車一開始就藏在參與者最初選擇的那扇門後，更換另一扇門也不會對結果造成影響。
3門問題的表格總結
| 選擇 | 汽車機率 | 山羊機率 |
|---|---|---|
| 堅持原先選擇 | 1/3 | 2/3 |
| 更換另一扇門 | 2/3 | 1/3 |
結論
3門問題是一個看似簡單，但實際上藴含着深刻的機率與邏輯原理的經典問題。它提醒我們，在做決策時，需要考慮所有可能的信息，並靈活地運用策略，才能做出最有利的選擇。